计算数学就是解决数学中的实际的计算问题。
比如说微分方程数值解，就是说很多微分方程的解存在，被证明存在且唯一的，但是找不到解析解，如果你想求这个解在某个点的函数值，可以用数学理论去逼近，这个过程需要大运算量不可能手算，要用计算机去实现，常见的方法比如有限差分，有限元。逼近的误差（精确度），总的来讲算得越多逼近的越准，具体多准，需要用数学理论去推导证明。
微分方程是描述物理过程的，线性方程比如波方程就是来描述波动，非线性方程比如ns 方程就是流体力学里的核心方程，所以微分方程数值解跟计算物理（其实就是计算数学）联系紧密。事实上，这个领域就从由二战时期对炮弹导弹的设计问题中产生的。为啥NYU 柯朗所的应用数学（其实就是计算数学）世界第一，就是当时汇聚了一帮顶尖数学家做军方研究，奠定了雄厚基础。
数值线性代数就是比如说，我想求一个矩阵的特征值，3阶的矩阵我一下就算出来了，但是3000000000阶的矩阵的，用计算机也算不出来，因为运算量太大，要O(n^3)， 所以我们放弃直接求，而是用较小的运算量去逼近真实特征值，求一个近似值或者逼近值，总的来讲算得越多逼近的越准，具体多准，需要用数学理论去推导证明。
线性非线性规划这个属于运筹学了，不算计算数学的范畴。
至于这个方向咋样，讲真我不愿得罪人所以我匿名。计算数学的核心在于数学而不在于计算，如果跟数学系的做，基本更强调在数学层面上去设计算法、理论证明，所以基本还是推公式。编程的话基本matlab手撸一个代码就好了。跟计算机领域的编程完全没法比。
这个领域从上世纪50年代开始做，做到现在做了70年，坑基本都挖完了，继续做很难做了
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