用弦图怎样证明勾股定理

更新时间:2023-04-17 15:36

证明:在正方形ABCD中作AH⊥DG、BE⊥AH、CF⊥BE、DG⊥CF。

设:AE的长度为a,BE的长度为b,AB的长度为c。

过B点、C点分别作对边的平行线,交于点B'。过C点、D点分别作对边的平行线,交于点C'。过D点、A点分别作对边的平行线,交于点D'。过A点、B点分别作对边的平行线,交于点A'。

∵BB'∥CF、CB'∥BF。

∴△BCF≌△CBB'(角边角)

∵∠BCF+∠DCG=90°,∠BCB'+∠BCF=90°

∴∠DCG=∠BCB'

∴△CDG≌△CBB'(角角边)

∴△BCF≌△CDG

同理,可证明:△BCF≌△CDG≌△DAH≌△ABE。

∴EF=FG=GH=HE=b-a。

又∵∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠HEF=90°

∴四边形DFGH也是正方形。

从图中可看出,正方形ABCD的面积=SRt△ABE+SRt△BCF+SRt△CDG+SRt△DAH+正方形EFGH的面积。

由此可得:c2=4×1/2· ab+(b-a)2

C2=2ab+b2-2ab+a2

∴c2=a2+b2

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